函数与符号

函数是什么

函数是什么？对于有初中数学基础的同学，一个函数 $f(x)$ 表示将某个数字作为自变量 $x$ 的取值，按照某个表达式计算的结果； 对于有计算机基础的同学，一个函数可以执行某些计算，也可能会带有某些副作用，计算的结果也可以不是数字； 在 Excel 表格中，函数可以对一组单元格的数据进行计算和操作。

这些事实告诉我们，在不同的情景中，函数有不同的定义，即不同的理解方式。

不妨忘记这些背景知识（如果有的话 ^_^），在 λ-Calculus 中你可以不理解函数的意义，也不应当赋予函数意义，至少目前是这样。

对于一部分读者来说，忽略一个概念的意义去理解相关的描述是一个可以接受的事情，但对于另外的读者，他们的脑子里也许会始终被这个问题盘踞，以至于很难用心去阅读接下来的内容。

对于后者，不妨想想自然数集的意义是什么。当然你不能用 $\{0, 1, 2, \ldots, \}$ 或者 zero，one，two…… 或者花体字符 $\mathbb{N}$（数学中自然数集的符号）来回答这个问题，因为这些只是自然数集的同义词，而不是它的意义。

这里我们说的“意义”不是“作用”、“影响”、“地位”等外延，而是“本质”、“含义”的意思。

自然数集的意义可能本身没什么讨论价值，毕竟我们不理解它的意义也完全可以利用这一概念了，它在现实生活中有许多具象的表现（数量的表示），足以让我们理解它的抽象存在。

λ-Calculus 中的函数并非没有具象的表现，但它本身没有特定的意义。因此请这部分读者先放一放这个问题，把它当成类似自然数的东西来看待。在数学中，自然数具有基石一样的地位，而在 λ-Calculus 中，函数将会是最本原的概念。

符号是什么

让我们从一个非常简单的函数开始：$f(x) = x$。

这时另外一个问题又出现了：$x$ 是什么？

在 λ-Calculus 中，$x$ 不是数学中未知数，不是程序中的参数，也不限于英文小写字母。我们可以将其笼统地称为变量，但是它本身只是一个符号。它可以是 abc，也可以是 αβγ。对此我们只需要了解一点：不同的符号是不同的。也就是说 a 和 a 是相同的符号，而 a 和 α 是不同的符号。

“这听起来太怪了！”

听君一席话，如听君一席话。符号在 λ-Calculus 中的作用只有一个：区分表达式的不同部分和不同变量。在数学上，$x = 1$，$y = 2$，那么我们说 $x$ 和 $y$ 不相等，其表达的意思是 $x$ 和 $y$ 的数值不同。而当 $x = y = 1$ 时，我们可以说 $x$ 和 $y$ 的数值相同，但两者的符号不同。

也就是说 “数值的相同” 是建立在 “=” 符号基础上的，而 “符号的相同” 这一概念没有其他的依赖。只要存在多种不同的符号，就有 “相同” 和 “不同” 的概念。如果人的眼睛里始终只有一种颜色，那么等价于他什么也看不到，而我们所看到的都是 “不同” 的部分，前后的颜色变化，不同区域亮度的变化等等。这种 “相同” 也被称作 identical ^[1]。

对于真的暂时忘记了背景知识的细心的读者，你们还会发现，这里隐藏了更多的问题：f 是什么？( 和 ) 的作用是什么？= 的含义是什么？

考虑到在 λ-Calculus 中我们通常不以上面的形式表示函数，这些问题我们暂且略过，而是将函数的表示做出修改，这将会是我们遇到的第一个 λ 表达式：

λx.x

这里我们略去了 f，毕竟我们不需要给这么简单的函数一个别名。

λ 表达式

一个 λ 表达式包含三种符号：λ，. 和变量符号。 λ 和 . 总是成对出现（就像左右括号一样），中间有且仅有一个变量符号 ^[2]。而在 . 的后面有一个 λ 表达式。两个由空格隔开的 λ 的表达式整体可以被当作一个表达式，而使用左右括号包裹 λ 表达式可以明确表达式范围。

为了简洁，下面用 λ 代替 “λ 表达式”，而 λ 表示这个希腊字母本身。

严谨的定义

为了明确 λ 的定义，我们不得不使用一些数学语言来描述它 :）

不妨设 $\Lambda$ 为所有合法的 λ 表达式构成的集合，设 $\Sigma$ 表示所有可能用到的符号构成的集合（一般是各种字符都可以，除了 λ 本身）。那么我们规定：

1. 符号：$\Sigma \subset \Lambda$，也就是说单个符号本身是合法 λ。
2. 抽象：$\forall f \in \Lambda, x \in \Sigma$，有 $\lambda x.f \in \Lambda$，即形如 λx.f 的是合法的 λ。
3. 应用：$\forall f, g\in \Lambda$，有 $f\; g \in \Lambda$（注意 $f$，$g$ 之间的空格），即形如 f g 的是合法的 λ。

另外为了便于阅读，$\forall e \in \Lambda$，有 $(e) \in \Lambda$。也就是说 λ 外面套一层括号也是合法的 λ 表达式。此外对于多个表达式均由空格隔开的情况，我们总是从左到右依次使用规则 3 来建立表达式（左结合）。

例如 a b (c d) e 等价于 ((a b) (c d)) e， λx.λy.x λx.y 等价于 λx.(λy.(x (λx. y)))。

道生万物

根据这样的规则，我们可以写出许多不同的 λ：λx.λy.x y x，也可以是 a b c (d e) f，亦或者 λx.λx.λx.x (x x x) x……

从形式上来说，λ-Calculus 已经是 “道生万物” 了，但何为其 “道”？

“道可道，非常道”^[3]，不讨论关于它的各种玄妙解释，就 “解释这一至理名言” 的所有尝试来看，古今文人墨客在尝试理解它，又如何不是在感受它的美，而这需要将之与客观事实对应，转化为人类的世界观中的 “语言”——五感、思想、符号等皆可是语言。而所谓 “对应”，我们可以将它不严谨地归约到一个看起来严谨的词：同构。

以 λ-Calculus 为道，我们本能地尝试用客观存在的事物来寻找同构的关系，以理解其非常之道。

我以我对《道德经》拙劣的理解，提出以下想法，它描述了 λ 的数学定义与 “道” 之同构，希望能帮助读者初步感受 λ 的简约美：

• 符号变成 λ 是从无到有的创世，是为 “道生一”；
• 抽象一个 λ 会得到下一个 λ，是为 “一生二”；
• 应用第一个 λ 于第二个 λ 会产生新的 λ，是为 “二生三”；

这三条规则描述了所有的 λ，是为 “三生万物”。

尾声

λ-Calculus 究竟以怎样的方式在现实中具现？

我想现在仍然没法回答这个问题。这是因为我们目前对 λ-Calculus 的表述尚停留在概念本身，也就是它的前半部分——λ，缺少了属于演算的那一部分。对于后者，我们将会在下一章介绍。

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1. https://math.stackexchange.com/q/1058610 #

2. 这里仅考虑最基础的 λ 表达式语法 #

3. 《道德经》第一章 #